有界。正弦函数sinx满足：对任意实数x，|sinx|≤1。所以，|sin(1/x)|≤1。有界函数并不一定是连续的。根据定义，?在D上有上（下）界，则意味着值域?(D)是一个有上（下）界的数集。

sin1/x有界

|f(x)|=|sin（1/x）|<=1，所以是有界的。

有界函数乘以无穷小=无穷小，所以后面这个函数趋向0。

|xsin(1/x)|<=|x|(因为|sin（1/x）|<=1)，而|x|极限为0，那么前面这个也为0。

什么是有界

若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

关于函数的有界性．应注意以下两点：

(1)函数在某区间上不是有界就是无界，二者必属其一；

(2)从几何学的角度很容易判别一个函数是否有界(见图2)．如果找不到两条与x轴行的直线使得函数的图形介于它们之间，那么函数一定是无界的。